Prisma: Segi-n

A.    Pengertian Prisma

Bangun ruang yang bentuknya banyak memiliki oleh benda-benda yang erat kaitannya dengan kehidupan manusia adalah prisma.

P

Q

R

S

Definisi: Prisma adalah bidang banyak yang dibatasi oleh dua bidang sejajar dan beberapa buah bidang lain yang dua-dua saling berpotongan menurut garis-garis yang sejajar. Bidang-bidang sejajar itu kemudian membentuk dua buah segi banyak yang kongruen yang dinamakan masing-masing bidang alas dan bidang atas.

 Garis-garis sejajar itu disebut rusuk tegak, dan pada umunya rusuk tegak tidak tegak lurus pada bidang alas.Bidang batas yang selain bidang alas dan bidang atas disebut bidang sisi tegak, yang pada umunya berupa jajaran genjang. Jarak antara bidang alas dan bidang atas disebut tinggi prisma. Irisan prisma dengan sebuah bidang yang memotong semua rusuk tegak dan letaknya tegak lurus pada rusuk tegak disebut irisan tegak lurus atau irisan siku-siku. Lihat pada Gambar 1 irisan PQRS. Prisma yang bidang alasnya sebuah segi-n disebut prisma bersisi-n atau prisma segi-n.

B.     Jenis-Jenis Prisma

1.      Prisma Segitiga ABC.DEF

·         Mempunyai 6 titik sudut, yaitu : Titik A, B, C, D, E, dan F ·         Mempunyai 9 rusuk , yaitu : Rusuk alas AB, BC, dan AC; Rusuk atas DE, EF, dan DF Rusuk tegak AD. BE, dan CF ·         Mempunyai 5 bidang sisi, yaitu : Sisi alas ABC ; sisi atas DEF dan Sisi tegak ABED, BCFE dan ACFD

2.      Prisma Segiempat ABCD. EFGH

·         Mempunyai 8 titik sudut, yaitu : Titik A, B, C, D, E, F, G dan H ·         Mempunyai 12 rusuk , yaitu : Rusuk alas AB, BC, CD dan DA; Rusuk atas EF, FH, GH, dan EG Rusuk tegak EA. FB, HC, dan GD ·         Mempunyai 8 bidang sisi, yaitu : Sisi alas ABCD ; sisi atas EFGH dan Sisi tegak ABFE, BCHF, CDGH dan ADGE

3.       Prisma Segilima ABCDE.FGHIJ

·         Mempunyai 10 titik sudut, yaitu : Titik A, B, C, D, E, F, G, H, I, dan J ·         Mempunyai 15 rusuk , yaitu : Rusuk alas AB, BC, CD, DE dan EA Rusuk atas FG, GH, HI, IJ dan JF Rusuk tegak FA. GH, HI, IJ dan JE ·         Mempunyai 7 bidang sisi, yaitu : Sisi alas ABCDE ; sisi atas FGHIJ Sisi tegak ABGF, BCHG, CDIH, DEJI, dan AEJF

4.      Prisma Segienam ABCDEF.GHIJKL

·         Mempunyai 12 titik sudut, yaitu : Titik A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K,  dan L ·         Mempunyai 18 rusuk , yaitu : Rusuk alas AB, BC, CD, DE, EF dan FA ; Rusuk atas GH, HI, IJ, JK, KL dan LG   Rusuk tegak GA. HB, IC, JD, KE dan LF ·         Mempunyai 8 bidang sisi, yaitu : Sisi alas ABCDEF ; sisi atas GHIJKL dan Sisi tegak ABHG, BCIH, CDJI, DEKJ, EFLK dan FAGL

5.      Prisma Segi-n

Pada prisma segi-n banyaknya :

·         Titik sudut =  2n

·         Rusuk       =  3n

·         Sisi           =  n+2

C.    Sifat-Sifat Umum pada Prisma

Perhatikan prisma ABC.DEF pada gambar di bawah ini. Secara umum, sifat-sifat prisma adalah sebagai berikut.

1.      Prisma memiliki bentuk alas dan atap yang kongruen.

Pada gambar terlihat bahwa segitiga ABC dan DEF memiliki ukuran dan bentuk yang sama.

2.      Setiap sisi bagian samping prisma berbentuk persegipanjang.

Prisma segitiga pada gambar dibatasi oleh tiga persegi panjang di setiap sisi sampingnya, yaitu ABED, BCFE, dan ACFD.

3.      Prisma memiliki rusuk tegak.

Perhatikan prisma segitiga pada gambar. Prisma tersebut memiliki tiga buah rusuk tegak, yaitu AD, BE, dan CF. Rusuk tersebut dikatakan tegak karena letaknya tegak lurus terhadap bidang alas dan atas. Dalam kondisi lain, ada juga prisma yang rusuknya tidak tegak, prisma tersebut disebut prisma sisi miring.

4.      Setiap diagonal bidang pada sisi yang sama memiliki ukuran yang sama. 

Prisma segitiga ABC.DEF pada gambar diagonal bidang pada sisi ABED memiliki ukuran yang sama panjang. Perhatikan bahwa AE = BD, BF = CE, dan AF = CD.

D.    Prisma yang Memiliki Sifat Khusus

Prisma tegak adalah prisma yang rusuk tegaknya tegak lurus pada bidang alas.

Pada paralelepipedum, ketiga rusuk yang bertemu disebuah titik sudut disebut rusuk-rusuk utama.

Dengan demikian maka pada prisma – tegak: sisi-sisi tegaknya berupa daerah persegi panjang, bidang alas dan bidang atasnya merupakan juga irisan siku-sikunya, sedang tinggi prisma dapat diwakili oleh salah satu rusuk tegaknya.

Prima yang tidak tegak disebut prisma miring.

E

A

B

C

D

F

Prima beraturan atau prisma teratur adalah prisma tegak yang bidang alasnya berupa segi banyak beraturan.

Pada prisma beraturan ruas garis yang menghubungkan titik-titik pusat bidang alas dan bidang atas disebut sumbu dari prisma beraturan itu. Pada gambar disamping adalah prisma segi-3 beraturan ABCDEF.

Z dan Z adalah titik-titik pusat bidang alas dan bidang atas; maka Z dan Z disebut sumbu prisma ABCDEF.

Paralelepipedum adalah prisma yang bidang alasnya berbentuk jajar genjang.

Jadi sebuah paralelepipedum pada umumnya dibatasi oleh enam daerah jajar genjang, dan sebuah paralelepipedum tegak dibatasi oleh dua buah daerah jajar genjang dan empat buah daerah persegi panjang.

Dengan pengertian-pengertian di atas kita dapat memberikan definisi untuk balok dan kubus.

Prisma terpancung: Jika sebuah bidang yang tidak sejajar bidang alas suatu prisma memotong semua rusuk prisma itu, maka prisma tersebut terbagi menjadi dua bagian masing-masing disebut prisma terpancung.

Prisma terpancung dapat juga didefinisikan sebagai bidang banyak yang dibatasi oleh dua bidang yang tidak sejajar dan beberapa bidang lain yang berpotongan menurut garis-garis sejajar.

E.     Melukis Bangun Prisma

F.     Melukis Irisan Pada Prisma

Perhatikanlah cara melukis irisan antara prisma dengan suatu bidang.

Pada contoh di samping ini akan dilukiskan irisan antara prisma ABCDEF dengan bidang yang melalui titik P, Q, dan S yang berturut-turut terletak pada rusuk AE, BF, dan DH. Caranya terlebih dahulu melukis garis g, yaitu garis perpotongan antara bidang yang melalui P, Q, dan dengan bidang alas. Garis g ditentukan dengan melukis terlebih dahulu titik x dan y. Akhirnya titik R ditentukan melalui titik T, yaitu titik potong garis g dengan perpanjangan CB.

G.    Simetri pada Prisma

Pada beberapa jenis prisma kita dapatkan sifat khusus yang disebut simetri. Kita mengenal dua macam simetri yang dapat dimiliki oleh benda ruang, yaitu simetri cermin dan simetri putar.

1.      Simetri Cermin

Definisi: sebuah bangun dikatakan memiliki simetri cermin/ bangun itu dapat dibagi dua oleh bidang tertentu sehingga bidang yang satu merupakan bayangan cermin dari bagian yang lain.

Bidang pembagi tadi, yang berperan seolah-olah sebagai sebuah cermin, selanjutnya disebut bidang simetri. Kedua bagian itu dikatakan letaknya simetris terhadap bidang simetrinya. Untuk menunjukkan adanya simetri cermin pada prisma tertentu, paling baik jika ditinjau sebuah kubus.

Pada sebuah kubus kita temukan dua macam bidang simetri, yaitu:

a.       Bidang simetri yang melalui pertengahan rusuk-rusuk sejajar, yang disebut juga bidang paralel tengah.

b.      Bidang diagonal,  yaitu bidang yang melalui dua rusuk yang berhadapan.

2.      Simetri Putar

Kita pikirkan bahwa sebuah benda menempati tepat bagian ruang tertentu yang selanjutnya dapat kita sebut sebagai “tempat” benda itu.

Definisi: jika pada sebuah bangun dapat ditetapkan suatu garis tertentu, sehingga dengan memutar sejauh satu putaran penuh mengelilingi garis tersebut bangun itu dapat menempati kembali tempatnya sebanyak n kali, maka dikatakan bahwa bangun itu mempunyai simetri putar tingkat n.

Garis itu disebut sumbu simetri putar, atau sering kali cukup hanya disebut sumbu simetri.

Pada sebuah kubus dapat kita temukan beberapa jenis simetri putar, dengan memperhatikan garis-garis tertentu yang dapat merupakan sumbu simetri, yaitu:

a.       Garis a, yang menghubungkan titik pusat dua bidang sisi yang berhadapan, merupakan sumbu simetri untuk simetri putar tingkat empat, sebut jika kubus diputar sejauh satu putaran penuh mengelilingi garis a itu, akan menempati tempatnya kembali sebanyak 4 kali.

b.      Garis b, yang menghubungakan pertengahan dua rusuk yang berhadapan, ternyata merupakan sumbu simetri putar tingkat 2.

c.       Garis o, yang menghubungkan dua buah titik sudut yang berhadapan dapat ditunjukkan merupakan sumbu simetri putar tingkat tiga.

Dapat ditemukan sumbu simetri yang lain pada kubus?

Simetri putar dapat ditunjukkan dengan menggunakan alat peraga berupa model rongga dari benda itu dan sepotong kawat yang dapat ditusukkan pada letak tertentu dari model itu.

H.    Luas Permukaan Prisma

Caranya adalah dengan menjumlahkan semua luas bangun datar pada jaring-jaring prisma. Coba kamu perhatikan prisma segitiga beserta jaring-jaringnya pada Gambar 8.25 berikut ini.

I.       Volume prisma

Volume sebuah prisma dapat di tentukan dengan memperhatikan ketentuan yang diketahui dan dengan menggunakan dalil-dalil tentang volume prisma.

1.      Volume prisma sama dengan hasil kali luas bidang alas dan tinggi.

2.      Volume sebuah prisma, baik prisma biasa atau prisma terpancung, bersisi tiga sama dengan hasil kali luas irisan siku-siku dan sepertiga jumlah rusuk-rusuk tegaknya.

3.     

E

H

Volume sebarang prisma sama dengan hasil kali luas irisan siku-sikunya dan sebuah rusuk tegak.

F

G

Jika ABCDEFGH prisma sebarang, maka:

t

V = Luas alas x t

V = Luas ABCD x EE₁

E1

A

D

B

C

Jika ABC.DEF prisma bersisi tiga biasa atau terpancung, maka

V= Luas irisan siku-siku x  jumlah rusuk tegak

V= Luas PQR x

K

N

P

Q

R

S

T

W

 

U

V

            Jika PQRS.TUVW sebuah prisma sembarang, dengan KLMN sebagai salah satu irisan siku-sikunya, maka

            V = Luas irisan siku-siku x sebuah rusuk tegak

            V = Luas KLMN x PT

M

L

 

J.      Contoh Soal